Le petit théorème de Fermat
Monsieur François Bruand, professeur de mathématiques et ancien directeur du
Gymnase d’Yverdon, a présenté ce théorème essentiel de la théorie des
nombres, ses démonstrations et sa généralisation par Euler.
Cryptographie
Monsieur François Bruand a donné une description de l’algorithme de cryptographie à clé publique de Rivest, Shamir et Adleman (RSA) basé sur le théorème de Fermat-Euler.
En langage d ’aujourd’hui : pour tout nombre a et tout nombre premier p ne divisant pas a, il existe un plus petit exposant d tel que ad -1 Ξ 0 (mod p) avec d divisant p-1 et donc
ap-1 -1 Ξ 0 (mod p)
C ’est ce qu ’on appelle le «petit » théorème de Fermat.
Léonard Euler démontre le théorème en 1736 et le généralise en 1758
La première démonstration publiée en 1741 du théorème de Fermat fut celle qu ’Euler avait présentée le 2 août 1736 à l’Académie de Saint-Pétersbourg.
où (m) représente le nombre d ’entiers inférieurs à m et premiers avec m. On l’appelle théorème d’Euler ou d’Euler-Fermat.
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Suite de la démonstration dans la borchure.